Differentiation is a useful tool for determining how fast something is changing, which is represented by the rate of change of a function or the slope of a graph. It's key when you're looking at movements, shapes, or physics simulations. That rate of change, or a function that stands for it, is what we call a "derivative". The process of finding the derivative is called "differentiation".
微分は、関数の変化の割合や、またはグラフの傾きによって表される、何かが変化する速さを調べるための便利なツールで、動き、形状、または物理シミュレーションを扱う場合には欠かせないものです。この変化の割合、または変化の割合を表す関数は「微分」と呼ばれ、導関数を見つけることは「微分する」と言います。
<aside> 💡 英語だとそれぞれを ”derivative”、”differentation”と別の単語で表すので気をつけてください。また日本語ではある関数を微分した結果得られる関数を「導関数」と呼ぶこともありますが、英語には直接対応する単語は無いようです。
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This page has become a bit lengthy, but the main goal here is to show that the basic idea of differentiation is actually quite simple. At first glance, formulas involving derivatives can seem cryptic. However, especially when taking a numerical approach that we’ll look at, it's just a matter of finding the difference between neighboring points and dividing that difference by the distance.
このページは少し長くなってしまいましたが、主な目的は微分の基本的な考え方が実はとてもシンプルだと示すことです。一見、微分を含む数式は難解に見えるかもしれませんが、特にこのページで取り上げる数値的なアプローチを取る場合、単に隣り合う点同士の差を求めて、距離で割るだけのことです。
<aside> 💡 I'm not saying that it's trivial or that I fully understand the subject. In fact, it's quite the opposite. I have only scratched the surface. But differentiation can be very powerful and useful just by understanding the basics and learning a few simple practical methods. 微分が取るに足らないものだったり、既に完全に理解したと言っているわけではありません。実際はその逆で、ほんの表面をかいつまんでいるだけなのですが、それでも基本を理解し、いくつかのシンプルな実用的な方法を学ぶだけで、微分は非常に強力で役立つものになります。
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変化の割合
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Think of an apple falling straight downward. From the starting point, the apple's position changes moment by moment, moving downward. The rate of change of the apple's position with respect to time is its velocity. Velocity can be defined as the derivative of position with respect to time. As the apple falls, not only does its position change, but its velocity also increases due to gravity. The derivative of velocity with respect to time is called acceleration, which represents how much the velocity changes at any given moment. In this example, the gravity acting on the apple is constant, so the acceleration also remains constant.
リンゴが真っ直ぐ落下する様子を考えます。スタート地点から下に向かって、リンゴの位置は刻一刻と変化します。時間に対するリンゴの位置の変化の割合がリンゴの速度です。この時、速度は位置の時間に対する微分だと言うことができます。位置が変化するだけでなく、リンゴは重力に引かれて速度を上げていきます。速度の時間に対する微分は加速度と呼ばれ、その瞬間にどれくらい速度が変化しているかを表します。この例ではリンゴに働く重力の大きさは一定なので、加速度も常に一定になります。
| Change of position | → Differentiate → | The rate of change of position ＝Velocity ＝The slope of the graph of position | | --- | --- | --- | | Change of velocity | → Differentiate → | The rate of change of velocity＝Acceleration ＝The slope of the graph of velocity |
| 位置の変化 | → 微分 → | 位置の変化の割合＝速度 ＝位置のグラフの傾き | | --- | --- | --- | | 速度の変化 | → 微分 → | 速度の変化の割合＝加速度 ＝速度のグラフの傾き |
The rate of change can be measured not only over time, but also over space. For example, the slope of a hill indicates the rate at which height is changing relative to the horizontal position. Therefore, it is the derivative of height. If we know the derivative of temperature relative to position, we may be able to predict the flow of wind.