Diffusion is the concept that explains how a drop of food coloring spreads in a glass of water, how a room fills up with the smell of perfume, or how heat conducts through a material. It is the process by which something spreads out evenly in a space where it was not previously evenly distributed. It is also used in things like fluid simulations. Diffusion is defined using derivatives and can appear very complicated when expressed in equations. However, it can be approximated with a simple calculation that compares neighboring values.
拡散とは、食紅が水に広がっていく様子、部屋中に香水の匂いが充満していく様子、素材内で熱が伝っていく様子などを、不均一に分布した何かが時間の経過とともに均等に広っていく状況を説明する概念で流体のシミュレーションなどでも使われます。拡散は微分を使って定義され、数式で見ると非常にややこしく見えがちなのですが、隣り合う値同士を比べるだけの単純な計算で近似することができます。
拡散をシミュレートする
Imagine a metal wire that has the highest temperature at its center and the lowest at both ends. Heat conducts from areas of high to low temperature, and we will observe how the temperature spreads over time. We will sample multiple points that are evenly distributed along the wire. The demo below illustrates the temperature changes at each point. The x-axis represents position, and the y-axis represents temperature (Note that y-axis is not position. The wire can have any shape, whether straight or bent).
金属のワイヤーを思い浮かべましょう。ワイヤーの中央が最も温度が高く、両端の温度が最も低い状態です。熱は温度が低い場所から低い場所へと伝わっていくので、時間の経過とともに温度がどのように変化するかを観察します。ワイヤー上に等間隔で置かれた複数の点をサンプリングします。下のデモでは、各点での温度変化を見ることができます。x軸は位置を、y軸は温度を表します（y軸は位置ではないことに注意してください。ワイヤーは真っ直ぐでも曲がっていても構いません）。
https://codepen.io/kynd/pen/YzdXpmG?editors=0010
The temperature change at a given point depends on the temperatures of its neighboring points. If the neighbors are hotter, the temperature will increase; if they are colder, the temperature will decrease. The rate of change is proportional to the temperature difference. If we call the temperature of the $i$-th point $u_i$, then the influence of the point to the left is proportional to$u_{i-1} - u_i$ and the influence of the point is proportional to $u_{i+1} - u_i$.
ある点の温度変化は、その周辺の点の温度に依存します。周辺の点がより熱い場合、温度は上昇します。逆に、周辺の点がより冷たい場合、温度は下降します。変化率は温度差に比例します。$i$番目の点の温度を$u_i$とすると、左側の点の影響は $u_{i-1} - u_i$ に比例し、右側の点の影響は $u_{i+1} - u_i$ に比例します。
Based on this idea, we can write a code to update the $u$ for the next moment in time (frame) as follows:
この考え方を元に、次の時間（フレーム）のために$u$を更新する下のようなコードを書くことができます。
u_new[i] = u[i] + alpha / (dx * dx) * (u[i+1] - 2*u[i] + u[i-1]);
// (u[i + 1] - u[i]) + (u[i-1] - u[i]) = (u[i+1] - 2*u[i] + u[i-1])
The constant alpha depends on the material's properties, while dx represents the distance between points. It takes into account the fact that the greater the distance, the more effort is required to conduct the same amount of heat.
定数 alpha は素材の特性に依存し、 dx は点の間の距離を表します。距離が大きいほど同じ量の熱を伝えるために必要な労力が増えることを表現しています。