In 1884, Edwin A. Abbott wrote a peculiar novel about people living in Flatland, a two-dimensional world. The main character, the Square, dreams about Lineland—a one-dimensional world—and eventually meets the Sphere, who takes him to Spaceland, a three-dimensional world.
1884年、エドウィン・A・アボットは、2次元世界のフラットランドに住む人々についての奇妙な小説を書きました。主人公のスクエア（正方形）は、1次元世界のラインランドの夢を見たり、スフィア（球体）に出会って3次元世界のスペースランドへと連れて行かれたりします。
For the Square, the three-dimensional world was totally unimaginable until he actually saw it. But his ability to understand it might suggest that he was already part of a three-dimensional world without realizing it. Then what about the world we live in? Is this world three-dimensional, or are there invisible dimensions that we just haven't noticed? Luckily, we have ways to deal with higher dimensions even when we can't see them. With some math, we can express things in dimensions higher than three, perform operations, and use them for practical stuff or just for fun.
3次元の世界はスクエアにとって、実際に見るまで全く想像できないものでした。しかし、見たら理解できたということは、気づかなかっただけですでに3次元の世界にいたということかもしれません。では我々が住むこの世界はどうでしょう。この世界は3次元でしょうか。それとも見えない次元が存在しているのに気がついていないだけでしょうか。幸い、我々には高次元を見ることができなくても、それを扱う方法があります。ちょっとした数学を使えば、3次元以上の次元のものを表現し、演算を行ったり、実用的なことに使ったり、ただ面白がったりできます。
Dimensionality is a crucial concept in understanding how we see and picture the world, not limited to the physical world but various kinds of data. On this page, we will journey through the simplest 1D world to higher dimensions.
次元の概念は、人が世界をどのように認識し理解するかを把握する上でとても重要です。この概念は物理的な世界だけでなく、様々な種類のデータにも適用されます。このページでは、最も単純な1次元の世界から高次元まで、順に巡っていくことにしましょう。
Imagine if the world was just a line. An object in this world is a line segment, which has only length, with no width or height. The movement is restricted to forward or backward along this line (whichever direction is considered "front").
一本の線だけで構成される世界を想像してみましょう。この世界の物体は長さのみを持ち、幅も高さもない線分です。動きは、この線に沿って前後（どちらを前とするかによりますが）だけに限定されています。
To annotate the position and size of an object, we need an origin. Let's assume there is a point on this line and we call it the origin. This is just an arbitrary point, but we need to fix this point in order to measure things. We might also want a unit of length, but for now we can think abstractly and say "1" is the unit length.
物体の位置や大きさを記述するには、原点が必要です。この線上のある点を原点と呼ぶことにしましょう。どこに置いても良いのですが、物事を測定するためにはこの点を固定する必要があります。長さの単位も必要かもしれませんが、とりあえず抽象的に考えて、「1」を単位の長さとしましょう。