A fractal is a pattern or shape that repeats the same structure at different scales, in such a way that a part of the shape resembles the whole, and a sub-part of a part resembles the larger part.

フラクタルは、部分が全体に似ていたり、またその一部がより大きな部分に似ていたりと、異なるスケールで同じ構造を繰り返すパターンまたは形状です。

This property, called self-similarity, is key to modeling many complex structures and patterns found in nature, such as coastlines, mountains, clouds, and tree branches. Objects and lives in nature often to form fractal-like structures in the process of building themselves, where similar patterns recur at progressively smaller or larger scales. Understanding this principle can help us sketch them.

この性質は自己相似性と呼ばれ、海岸線や、山、雲、木の枝など、自然に見られる多くの複雑な構造やパターンをモデリングするため重要な概念です。自然界の物体や生命は、自己を構築する過程でしばしば、同様のパターンがより小さな、または大きなスケールで繰り返し現れる、フラクタルのような構造を形成します。この原理を理解することは、これらの現象をスケッチする役に立ちます。

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Mandelbrot set and Julia set マンデルブロ集合とジュリア集合

The Mandelbrot set and Julia set are two of the most famous fractals in mathematics. If you take a book about fractal, there is a good chance that the cover features either or both of them.

マンデルブロ集合とジュリア集合は、数学で扱うフラクタルの中でも最も有名ものです。フラクタルについての本の表紙には大抵このどちらか、または両方があしらわれています。

They are closely related to teach other and defined by the behaviors of complex functions under infinite iteration. But setting the math aside for now, let's take at them and observe see how then has infinite details resembling to itself, no matter how much we zoom in.

これら2つの集合は密接に関連しており、複素関数の無限反復による振る舞いで定義されます。しかし、数学は一旦脇に置いて、これらの集合がどれだけズームインしても、自分自身に似た形を持つ無限のディティールを持っていることを観察しましょう。

Julia set https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set#/media/File:JSr07885.gif

Mandelbrot set https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set#/media/File:Self-Similarity-Zoom.gif

Sierpiński Carpet シェルピンスキーカーペット

Let’s look at a much simpler example of fractal. The demo below draws a pattern called Sierpiński Carpet. This is a great starting point, because not only it is easier to understand, t represents the concept of self-similarity more directly than the Mandelbrot set or Julia set do.

はるかに単純なフラクタルの例を見てみましょう。以下のデモは、シェルピンスキーカーペットと呼ばれるパターンを描きます。これは素晴らしい出発点です、なぜならそれは理解しやすいだけでなく、マンデルブロ集合やジュリア集合よりも自己相似性の概念を直接的に表現します。