Take a look at the demo of the falling apple from the differentiation page again. The rate of change of the position is velocity, and the rate of change of velocity is acceleration. We can think about this the other way around. The position of an object at a certain moment is a result of the effect of velocity accumulated over time, and the velocity at a certain moment is a result of the effect of acceleration accumulated over time.
微分のページから、落下するリンゴのデモをもう一度見てみましょう。位置の変化の割合は速度で、速度の変化の割合は加速度でした。これを逆向きに考えることもできます。つまり、ある瞬間の物体の位置は一定時間の間の速度の影響が積み重なった結果で、ある瞬間の速度は一定時間の間の加速度の影響が積み重なった結果だと考えることができます。
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For example, if a car has been moving at 100 km/h toward east for 2 hours, it must be at 200 km east from its starting point. This is the basic idea of integration. An integral represents the accumulation of the rate of change over a certain span. Differentiation relates to 'difference', capturing the rate of change at each moment, while Integration ties to 'sum', accumulating these changes over time. In fact, the origin of the symbol of integral $\int$ is the elongated "S," which stands for "summa" in Latin, meaning "sum" or "total.”
例えば、車が東へ時速100キロの「速度」で2時間進み続けた場合、出発点から200キロ東の「位置」に来るはずです。これが積分の基本的な考え方です。積分は、ある期間の間の変化率が積み重なったものを表します。微分は「差」に関係しており、瞬間の変化率を捉えます。一方、積分は「和」に関係しており、変化を時間の経過に対して累積します。実際に、積分の記号$\int$は、長く引き伸ばしたSの形をしており、ラテン語の「summa」、「総和」という意味の言葉から来ています。
<aside> 💡 Integration doesn't always have to be about position and time, but we'll stick with this example for now as it is the most intuitive. 積分は必ずしも時間や位置に対する問題でなくて良いのですが、今はこの例を最も直感的な例として用いることにします。
</aside>
面積と積分
Integration can also be thought of as the area under the graph. Let's consider the relationship between velocity and position as an example. If the velocity is constant, the change in position is simply the product of velocity and time. It is clear that it corresponds to the area of the shaded part of the graph below.
積分はグラフの面積として考えることもできます。速度と位置の関係を例に考えてみましょう。速度が一定であれば、位置の変化は速度に時間を掛け合わせるだけなので下のグラフの斜線部分の面積に相当することは明らかです。
If we plot the graph of the area, it will look like this. This is the graph of the integral of velocity, which represents the change in position over time. When the velocity is constant, the position graph becomes a straight line.
面積のグラフを描くと、このようになります。これは速度の積分のグラフであり、時間に対する位置の変化を表しています。もし速度が一定であれば、位置のグラフは直線になります。
It may not be that obvious when the graph is not straight. But if you imagine that the shape consists of many narrow rectangle strips, you can approximate its area. Integration is the accumulation of change over time. You can think of each strip as an approximation of the effect of velocity over a short amount of time. By summing up the areas of all the strips, you can find the total amount of change.