Chaos Theory カオス理論

Let's look back at the logistic mapping formula. There are vital concepts hidden in this—stretch and fold.

ロジスティック写像の式を振り返ってみましょう。ここには引き伸ばしと折り畳みという重要な概念が隠されています。

$x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)$

• The Stretch ($r x_n$): It takes the position from the previous state ($x_n$) and stretches the space by multiplying it. In this process, the slight difference in $x$ gets exaggerated by $r$ exponentially through iterations (if $r > 1$).
• The Fold: Multiplying by ($1-x_n$) brings the $x$ back to the [0, 1] range.
• 引き伸ばし（$r x_n$）：前の状態の位置（$x_n$）を取り、それを掛け算することで空間を引き伸ばします。このプロセスにおいて、$x$のわずかな差異が反復を通じて$r$によって指数関数的に拡大されます（$r > 1$の場合）。
• 折り畳み：（$1-x_n$）を掛けることで、$x$を [0, 1] の範囲に戻します。

The demo below breaks down how the stretching and folding moves the $x$ back and forth.

下のデモは、引き伸ばしと折り畳みがどのように$x$を揺り動かすかを分解して見せます。

https://codepen.io/kynd/pen/QwEGXWb?editors=0010

This mechanism is not just a quirk of Logistic Mapping. It is actually the universal engine behind every chaotic system in the universe. In the study of dynamical systems, this is known as the Smale Horseshoe map logic where a space gets stretched like a rubber band then bent into a U shape to fit within the original range.

このメカニズムは、ロジスティック写像だけの特異な性質ではなく、実はあらゆるカオス系を支える普遍的な仕組みです。これは力学系の研究においては、空間がゴムバンドのように引き伸ばされ、その後U字型に曲げられて元の範囲内に収められるスメールの馬蹄写像のロジックとして知られています。